积分的变换

如果在时域里求导是把变换乘以 s，那么在时域里积分就该做相反的事——确实如此。这条规则是导数规则的镜像，它让你能处理累积量：流过的总电荷、总位移，任何由对某个速率积分而累积起来的东西。

其陈述是：若 L{f(t)} = F(s)，则 L{ 从 0 到 t 的 f(tau) d tau } = F(s)/s。在时域里从 0 到 t 积分，对应在变换里除以 s。原因恰是导数规则反过来用：累积积分 g(t) 满足 g'(t) = f(t) 且 g(0) = 0，所以 s G(s) - 0 = F(s)，给出 G(s) = F(s)/s。每多积分一次，就再除以一个 s。

在电路分析中，这是处理电容的变换——电容电压是电流的积分；在力学中，它处理作为速度积分的位置。它也解释了为什么阶跃函数 1/s 与斜坡 1/s^2 恰好相差一个 s 因子：对常数 1 积分得到斜坡 t，而把 1/s 除以 s 得到 1/s^2。除以 s（积分）与乘以 s（求导）之间这种干净的对称，是整套变换演算的代数核心。