跡－行列式平面（trace-determinant plane）
對線性平衡點分類，感覺像要背一張長長的特徵值情形清單。跡－行列式平面把整張清單摺成一幅主地圖。你只要從系統的 2×2 矩陣 A 算出兩個數——它的跡 T（對角元素之和）與行列式 D——畫出點 (T, D)，再從點落在何處直接讀出平衡點的類型。一幅圖組織了所有可能性。
它之所以管用，是因為 2×2 矩陣的兩個特徵值完全由 T 與 D 決定：它們滿足 lambda^2 - T lambda + D = 0，和為 T、積為 D。於是地圖這樣劃分。若 D 為負，特徵值為實且異號：鞍點（整個下半平面）。若 D 為正，看判別式 T^2 - 4D：它為正之處特徵值為實且同號，給出結點；它為負之處特徵值為複數，給出螺旋點；兩者之間的拋物線 T^2 = 4D 是非正常／星形結點的邊界。在這些區域內，T 的正負號設定穩定性：T 為負把東西拉入（穩定，左側），T 為正把東西推出（不穩定，右側）。T = 0 的正 D 軸是中心之線。
這幅單一的圖正是整個線性分類的回報：從兩個容易算的算術量，你立刻為平衡點命名——鞍點、穩定／不穩定結點、穩定／不穩定螺旋點，或中心——並判斷其穩定性，而完全不必明確求出特徵值。它也生動地呈現各類型如何彼此相鄰，使你一眼看出當參數使點 (T, D) 在地圖上移動時，平衡點會如何改變類型。
對於矩陣 [-1, -2; 2, -1]，跡為 T = -2，行列式為 D = 5。由於 D > 0 且 T^2 - 4D = 4 - 20 = -16 < 0（複特徵值）並 T < 0（衰減），點 (-2, 5) 落在穩定螺旋點的區域。
兩個數 T 與 D 把平衡點放上地圖並為其類型命名——不需要特徵值。
跡－行列式地圖只對真正「線性」的系統是完整的捷徑。對非線性系統，它分類的是平衡點處的線性化，僅在雙曲點處忠實；在邊界曲線上（D = 0、拋物線、中心軸），線性判決可能誤導真實的非線性行為。