作为多维数组的张量

一旦固定了基，张量就变成一个由若干下标索引的多维数字数组：向量是 1 维数组（一个列表），矩阵是 2 维数组（一个网格），而三阶张量 T[i,j,k] 是一个数字立方体。这就是数据科学的图像，是 NumPy 或 PyTorch 这类软件背后的那一个，其中“张量”就是指“n 维数组”。

相应的词汇命名了你如何切这个立方体。模（或路）是其中一个轴；三阶张量有三个模。纤维是你固定除一个以外全部指标所得到的东西——矩阵的行与列的高阶类比（一列是一条 1 模纤维）。切片固定一个指标、让另两个跑动，给出立方体的一张矩阵面。

重整形运算在这些视角间移动。展开（矩阵化）通过堆叠纤维把张量摊平成矩阵，让你能逐模套用普通的矩阵工具。向量化把一切堆成一根长列。这些都是记账，不是新数学，但 CP 与 Tucker 之类的分解正是这样被实际计算出来的。

对数组视角所丢弃的东西要诚实。光秃秃的数组只是坐标；只有当你同时说明各元素在换基下如何变换，它才成为真正的张量。一个没有变换律的 NumPy 数组并非物理意义上的张量——它是一个容器。无坐标对象与它的分量数组之间的关系，正如抽象向量与它那一列数字之间的关系。