辛約化（symplectic reduction）
當力學系統有對稱時，你直覺上期望能「用掉」這對稱來簡化問題——在一個較小的空間上工作，那裡多餘的對稱方向已被移除。把旋轉對稱的二體問題約化為相對運動就是經典例子。辛約化把這變精確：它從對稱的辛流形構造出一個較小的辛流形，恰好捕捉模掉對稱後的動力學，而關鍵在於結果仍是辛的，不只是個赤裸的商。
精確地說，馬斯登-韋恩斯坦定理說：令 G 以哈密頓作用作用在 (M, omega) 上，動量映射為 mu: M -> g^*，並令 0 是 mu 的正則值（或更一般地取任何被餘伴隨作用固定的值）。則 mu^{-1}(0) 是 G 在其上作用的子流形，而商 M_red = mu^{-1}(0) / G 自然是辛流形，帶有從 omega 拉回的唯一約化形式 omega_red。維數下降兩倍 G 的維數：dim M_red = dim M - 2 dim G。背後的幾何：在水平集 mu^{-1}(0) 上，omega 恰好在 G-軌道方向變退化，而對那些方向取商（它們是等向的且落在自身的辛補裡，一種餘等向約化）恢復了非退化。所以你一舉以約束削減、並以對稱取商。
為何重要：約化是製造新辛流形的普適工具，也是規範理論的幾何骨幹，那裡動量映射是約束，而約化除掉規範對稱。餘伴隨軌道作為 T*G 的約化而生；環簇作為 C^n 對環面約化而生；平坦聯絡模空間上的辛結構也是一種約化。一個須誠實面對的提醒：只有在 mu 的正則值處、且 G 自由作用（或至少穩定子有限）時，約化才乾淨——在奇異值處或有不動點時，商會發展出奇異性（軌形甚至更糟），需要奇異辛約化（夏馬爾-勒曼）來妥善處理。光滑圖像是最佳情形，而非一般情形。
複射影空間作為約化：令圓 G = U(1) 以純量乘法 e^{i theta} . z 作用在 C^{n+1}（配標準辛形式）上。動量映射是 mu(z) = (1/2)(|z|^2 - 1)，所以 mu^{-1}(0) 是單位球面 S^{2n+1}，而商 S^{2n+1} / U(1) 恰好是 CP^n。約化辛形式 omega_red 是富比尼-施圖迪形式。因此 CP^n 是 C^{n+1} 的辛約化，是每個環簇構造的原型。
CP^n = C^{n+1} // U(1)：把單位球面 mu^{-1}(0) = S^{2n+1} 對圓作用約化。
只有當 0 是正則值且 G 自由作用時，約化才光滑。不動點或非正則值使 M_red 奇異（軌形或分層空間）；此時樸素的商不是流形，須用奇異約化理論。