全部留數之和恆等式（sum-of-all-residues identity）

這是一條驚人乾淨的記帳法則：對一個行為良好的函數，若你把它所有的留數加起來——每個有限奇點加上無窮遠處的留數——總和恰好是零。沒有任何剩餘。彷彿留數是一種守恆量，其帳簿在整個球面上必須永遠平衡。

敘述：若 f 在整個複平面上除有限個孤立奇點外都解析（即 f 是有理函數，或更一般地在黎曼球面上亞純），則 Res(f, z_j) 對所有有限奇點 z_j 的和，加上 Res(f, infinity)，等於 0。理由簡短而優雅。取一個大到圍住每個有限奇點的圓 |z| = R。由留數定理，該圓上的積分等於 2 pi i 乘以所有有限留數之和。但根據無窮遠留數的定義本身，同一個積分又等於負 2 pi i 乘以 Res(f, infinity)。令兩式相等並除以 2 pi i 得：所有有限留數之和加上 Res(f, infinity) = 0。無窮遠點不是特殊的例外；它是使帳簿結清的那一筆額外條目。

這個恆等式真的有用，不只漂亮。當有理函數有許多有限極點、但在無窮處結構簡單時，計算無窮遠處的單一留數（藉 w = 1/z）並用此恆等式一舉得到所有有限留數之和，常常省力得多——而那由留數定理就是你想要的圍道積分。它是留數演算的哲學頂石：在黎曼球面這個閉曲面上沒有「外部」，故所有局部資料必須加總為零。