斯圖姆振盪定理（Sturm oscillation theorem）
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依序看一條弦的振動模態：基音是一個平滑的單峰，第二模態中間有一個靜止點，第三個有兩個，依此類推。模態越高，它越過靜止線的次數越多。這種計數並非巧合——它是一條精確的法則。斯圖姆振盪定理確切地說出每個特徵函數必須越過零幾次，按扭動程度為模態排序。
對一個正則斯圖姆－劉維爾問題，特徵值排序為 lambda_1 < lambda_2 < lambda_3 < ...，對應特徵函數為 y_1, y_2, y_3, ...，定理陳述：第 n 個特徵函數 y_n 在開區間 (a, b) 內恰有 n - 1 個零點。所以第一個特徵函數在內部從不越過零，第二個越過一次，第三個兩次，依此類推——零點數隨著特徵值階梯每上一級便增加一個。一個伴隨結果，斯圖姆分離定理，補充說相鄰特徵函數的零點交錯：在 y_n 的任意兩個零點之間，恰有 y_(n+1) 的一個零點。
這條定理使譜變得可讀。它保證在正則情形下特徵值構成一個真正遞增的序列，沒有缺口也沒有重複，並給你一個免費的診斷：數一個特徵函數的內部零點，你便知道它的階。這就是為什麼盒中量子粒子的能階能用波函數有幾個節點來標記，它也直接連到比較定理，因為更多的越零正是較大特徵值所產生的振盪。
對 [0, pi] 上兩端為零的 y'' + lambda y = 0，y_n = sin(n x)。第一個 sin(x) 在 (0, pi) 內無零點；第二個 sin(2x) 有一個（在 x = pi/2）；第三個 sin(3x) 有兩個（在 pi/3 與 2pi/3）。內部零點數總是 n - 1，恰如定理所保證。
第 n 個模態恰有 n-1 個內部節點——數節點便能告訴你階，無需計算特徵值。
乾淨的零點計數對正則斯圖姆－劉維爾問題成立。在奇異情形下，尤其是在無限區間上、或譜部分連續之處，節點計數的圖像可能失效，所以別對你遇到的每個問題都假定「第 n 個模態有 n-1 個節點」。