斯圖姆－劉維爾問題（Sturm-Liouville problem）
/ STURM lee-oo-VEEL /
簡單的振動弦問題 y'' + lambda y = 0 是一個遠為廣闊的家族中親切的首個範例。真實的桿子並不均勻，真實的鼓面並不平坦，真實的材料其密度與剛度逐點變化。斯圖姆－劉維爾問題就是處理所有這類可變、非均勻情形的母模板，同時保留了使簡單情形如此有用的每一個美好性質——實數頻率、正交模態、完備展開。
它是寫成標準形式 (p(x) y')' + (q(x) + lambda w(x)) y = 0 的自伴二階方程的特徵值問題，定義在區間 a <= x <= b 上，並在兩端附有適當的邊界條件。這裡 p(x) > 0 與 w(x) > 0 是給定的類權重係數函數，q(x) 是另一個給定函數，lambda 是特徵值參數。各部分皆有含義：p 控制方程如何擴散或傳遞，q 是類勢能項，w 是說明正交記帳如何進行的權重。大多數有名字的特殊方程——勒讓德的、貝索的、埃爾米特的、切比雪夫的——都是偽裝的斯圖姆－劉維爾問題，各有自己的 p、q、w。
使這套框架如此重要的，是它在溫和條件下一次保證一整包結果：特徵值全為實數，並構成一個遞增序列 lambda_1 < lambda_2 < lambda_3 < ... 趨向無窮；特徵函數對權重 w 正交；且它們是完備的，因此任何合理的函數都能用它們展開。這就是那個抽象的核心，解釋了為什麼傅立葉級數、貝索函數級數與勒讓德多項式級數，都因同一個結構性的理由而奏效。
樸素問題 y'' + lambda y = 0 就是 p(x) = 1、q(x) = 0、w(x) = 1 的斯圖姆－劉維爾問題，因為 (1·y')' + (0 + lambda·1) y = y'' + lambda y。貝索方程 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0 可改寫為 (x y')' + (-n^2/x + lambda x) y = 0，故那裡 p(x) = x、w(x) = x。
從一個熟悉的方程讀出 p、q、w，便揭示它是一個斯圖姆－劉維爾問題，並免費奉上它的正交權重。
那些結構性保證（實數、遞增的特徵值；正交、完備的特徵函數）在正則情形下乾淨成立；在奇異情形（p 或 w 在某端消失，或區間無限）下，這些結論大致仍成立，但需額外小心，譜甚至可能變為連續的。