對權重正交（orthogonality with respect to a weight）
兩支箭垂直，是當任一支都不在另一支上投下影子時——它們的點積為零。函數也能垂直，在一種平均的意義下：兩個函數在區間上正交，是當它們乘積的積分為零時，正負部分在區間上恰好抵消。斯圖姆－劉維爾問題的特徵函數享有這種垂直性——但測量時帶著一種傾斜，一個把區間某些部分計得比其他部分更重的權重。
兩個函數 f 與 g 在 [a, b] 上對權重 w 正交，是當加權積分（從 a 到 b 的 f(x) g(x) w(x) dx 的積分）等於零時。權重 w(x) > 0 正是出現在自伴方程 (p y')' + (q + lambda w) y = 0 中的那個 w。核心定理是：屬於不同特徵值的特徵函數，在這種加權意義下自動正交：若 y_m 與 y_n 滿足問題且 lambda_m 不等於 lambda_n，則 y_m y_n w 的積分為零。其證明是一段簡短而令人滿意的兩次分部積分（拉格朗日恆等式），其中邊界項消失，餘下的東西逼使積分為零。
這種正交性是使特徵函數展開實際可行的主力。要在某函數 f 的展開中求出某個特定特徵函數的係數，你把 f 乘以該特徵函數與權重、積分，於是其他每一項都塌縮為零——留下一個關於該係數的乾淨公式。這正是熟悉的傅立葉係數公式背後的確切機制，加以推廣：那裡權重不過是 w = 1，特徵函數則是正弦與餘弦。
在 [0, pi] 上，特徵函數 sin(m x) 與 sin(n x)（權重 w = 1）滿足：只要 m 不等於 n，從 0 到 pi 的 sin(m x) sin(n x) dx 的積分就為零。例如 sin(x) 與 sin(2x)：它們的乘積在 [0, pi] 上積分為零，故它們正交——這正是使傅立葉正弦係數乾淨分離的事實。
不同的特徵函數彼此（以 w 加權）積分為零，這正是讓你一次抽取一個係數的關鍵。
正交性只在不同特徵值的特徵函數之間有保證。若某特徵值重複（這在正則斯圖姆－劉維爾問題中不會發生，但在奇異或高維情形中可能發生），同一個特徵值內的特徵函數未必正交，除非你刻意把它們正交化。