特徵函數的完備性（completeness of eigenfunctions）
假設你有一組顏料，你想知道：你能用它們調出每一種可能的顏色，還是有些色調永遠遙不可及？一組積木是完備的，是當沒有任何東西缺失時——當你可能想要的一切都能由它們搭建出來時。特徵函數的完備性，正是對斯圖姆－劉維爾問題的模態問這件事：每個合理的函數是否都能作為它們的組合而達到，還是有些函數從縫隙中溜走？
形式上，正則斯圖姆－劉維爾問題的特徵函數 {y_n} 在 [a, b] 上權重為 w 的平方可積函數空間中是完備的：對任何這樣的函數 f，其特徵函數展開 sum c_n y_n 以均方意義收斂到 f，意即 (f 減去部分和)^2 的加權積分隨著納入更多項而趨於零。等價地說，沒有任何非零函數與每個特徵函數都正交——不存在特徵函數張不到的「隱藏方向」。完備性是正交性的夥伴：正交性讓你乾淨地算出係數，但唯有完備性保證該級數真的加總回 f，而非別的較少的東西。
這是使整項事業合法的深刻定理。沒有完備性，你可能展開一個函數、把級數加總，卻落在與出發處不同的地方，而偏微分方程的分離變數法便失去依據。斯圖姆－劉維爾框架保證正則情形的完備性，這正是為什麼傅立葉級數、貝索級數與勒讓德級數可被信賴去表示任意資料。完備性也很微妙：收斂是在平均的均方意義下，因此它容許在孤立點與跳躍處有分歧。
正弦組 {sin(n pi x / L)} 在 [0, L] 上是完備的：每個兩端為零的平方可積函數都能由它們重建。倘若連一個模態都缺了，譬如 sin(2 pi x / L)，那麼那個函數本身就會與其餘全部正交，永遠無法被重建——這組便有了缺口而不完備。
完備性意味著沒有任何函數與整組正交；移除單單一個特徵函數，那個缺口便重新出現。
完備性是均方（平均）意義下的收斂，它弱於逐點收斂。一個完備的級數仍可能在個別點上與 f 分歧、或並非處處收斂；趨於零的是誤差的能量，而非它在每一點上的值。