斯圖姆比較定理（Sturm comparison theorem）
/ STURM /
若兩名跑者同時起跑而其中一人總是跑得更快，那個更快的會更頻繁地繞圈。微分方程的振盪解有一個對應版本：若一個方程比另一個更強烈地「把解往零拉」，它的解便更頻繁地越過軸線扭動。斯圖姆比較定理把這個直覺精確化——它讓你在不求解任一方程的情況下，比較兩個相關方程之解的零點。
考慮兩個自伴形式的方程，在同一區間上的 (p y')' + q_1 y = 0 與 (p z')' + q_2 z = 0，兩者有相同的 p > 0，其中第二個有較大的回復係數：處處 q_2(x) >= q_1(x)（且在某處嚴格更大）。定理說，被更強烈回復的解 z 至少振盪得一樣快：在 y 的任意兩個相鄰零點之間，解 z 必有自己的一個零點。q 越大，零點間距越緊。其證明是一段簡短而巧妙的計算：構造組合 p(y z' 減 z y')，用兩個方程對它求導，而差 q_2 減 q_1 逼出一個符號，除非 z 在這段間隙中越過零，否則該符號無法持續。
這是理解振盪的基礎工具。它定性地、且無需任何解的公式，解釋了為什麼更硬的彈簧振動更快、為什麼 y'' + q(x) y = 0 的解在 q 大的地方振盪而在 q 為負的地方單調增長、以及為什麼較大的特徵值伴隨更扭動的特徵函數。它是斯圖姆振盪定理背後的引擎，也是二階方程與特殊函數定性理論中反覆出現的工具。
比較 y'' + y = 0（q_1 = 1）與 z'' + 4 z = 0（q_2 = 4）。它們的解是 sin(x)（零點相距 pi）與 sin(2x)（零點相距 pi/2）。由於 q_2 = 4 > 1 = q_1，比較定理保證 z 在 y 的每對零點之間都有一個零點——而 sin(2x) 確實以兩倍的頻率越過零。
較大的回復係數 q 把零點擠得更近——解振盪得更快，無需求解任一方程。
兩個方程必須共用相同的 p(x)，標準比較才直接適用；若它們的 p 不同，你得先改寫它們，或使用更一般的版本。而且結論講的是零點的位置，而非振幅——振盪更快的解未必更大。