夹逼定理

假设你在人群里找不到某个人，但你知道他正和两位朋友手挽手地走着，而那两位朋友都正朝着同一个出口汇聚。那么夹在中间的这个人别无选择——他也必定朝那个出口走去。夹逼定理把这种直觉变成了一件工具：如果一个函数被夹在另外两个都趋向同一极限的函数之间，那么被夹住的函数也必须趋向那里。

正式地说：如果在 a 附近所有的 x 处都有 g(x) <= f(x) <= h(x)（不必在 a 这一点本身成立），并且 lim x->a g(x) = lim x->a h(x) = L，那么也有 lim x->a f(x) = L。两条边界必须夹向同一个值 L；如果下界和上界趋向不同的数，这个定理就什么也说不了。对于那些振荡得太剧烈、无法直接处理的函数，它格外有用。

经典的成果是 lim x->0 sin(x)/x = 1，这个结果你没法靠直接代入得到（那会给出 0/0），但只要把 sin(x)/x 夹在 cos(x) 和 1 之间，它就自然浮现了。另一个常被引用的例子是 lim x->0 x^2 sin(1/x) = 0：正弦因子会永远振荡，但它被牢牢夹在 -x^2 和 x^2 之间，而这两者都趋于 0，于是乘积被迫等于 0。这个定理让严谨的界限在直接代入够不到的地方取得胜利。