不定式

想象一场拔河，两队都使出巨大且不断增长的力气。只知道两股力都「很大」根本不能告诉你谁会赢——结果取决于每一方究竟是怎么增长的。不定式就是这种僵持在极限里的版本：像 0/0 或 infinity/infinity 这样的符号对峙，两种相互竞争的趋势在角力，而单凭这个形式本身告诉不了你答案。

当你试图用代入来求一个极限，而表达式坍缩成下面这些模式之一时，这个形式就是不定式：常见的有 0/0、infinity/infinity、0 乘以 infinity、infinity 减去 infinity，以及指数情形 1^infinity、0^0 和 infinity^0。诚实的解读是「尚未决定」——极限可能是任何有限数、可能是无穷、也可能根本不存在，取决于具体是哪些函数。你要靠多做一些功夫来化解它：因式分解再约分、有理化、除以占主导地位的项，或者运用洛必达法则（对于 0/0 或 infinity/infinity，它把这个比值换成两者导数之比）。

这里有个人们常忽略的关键区别：不定式并不等同于「无定义」。像 1/0 这样的东西是无定义的，它意味着函数爆掉了；而 0/0 是不定的，意味着这是一个仍然悬而未决的问题。举例来说，sin(x)/x、(e^x - 1)/x 和 x/x 在 0 处都呈现 0/0 的形式，但它们的极限分别是 1、1、1——而 x^2/x 给出 0，x/x^2 给出 infinity。同样的形式，不同的答案：这正是它被称作「不定式」的原因。