公式的平滑化推論（smoothing consequence）

柯西積分公式有一個低調卻深刻的副作用：它是一種平滑化運算。即使你只假設 f 解析——這看似溫和的條件——公式仍把 f 表為 f 對著那個極光滑的核 1 / (z - z_0) 的圍道積分，而對光滑核作積分會產生光滑的結果。你可能擔心的粗糙根本無法存活。

以下用文字說明其機制。值 f(z_0) 是邊界值以 1 / (z - z_0) 加權的平均，而當 z_0 在圍道內部移動時，那個核無窮光滑地變動（它本身在遠離邊界處對 z_0 解析）。對 z_0 求導只是對光滑的核求導，從不對邊界資料求導，所以 f 繼承的是核的無窮光滑性，而非其值的任何不規則。這與導出無窮可微性的是同一個計算，只是當作一個平滑化敘述來看：積分把 f 洗練成某個自動 C-無窮的東西。

為何重要：這是解析函數不能有尖角、扭結、或實函數所容忍的任何輕微壞行為的結構性原因。它也預示一個反覆出現的主題——由良好積分核建構的算子（帕松積分、磨光子、熱核）都會平滑它們的輸入。誠實的說法：平滑化並非添加資訊或「改良」f；它揭示了 f 本就已經完美光滑，因為解析性是一個遠比初看更具限制性的條件。