SIR 模型（SIR model）

當疾病橫掃一座城鎮，你不會逐一追蹤每個人——而是按狀態把人口分成三個桶：S 代表仍「易感」者（會被傳染），I 代表當前「感染」者（已染病且能傳給別人），R 代表「移除」者（康復並已免疫，或不幸過世）。SIR 模型觀察各桶人數隨時間變化，人們從 S 流向 I 再流向 R。它是數學流行病學的奠基模型，也是如今人人都想「壓平」的那條曲線的來源。

三條方程是 S' = -beta S I、I' = beta S I - gamma I、R' = gamma I。beta S I 這一項是引擎：新感染發生在易感者遇上感染者時，而這類相遇的次數正比於乘積 S 乘以 I，beta 為傳播率。gamma I 這一項表示感染者以速率 gamma 康復（或被移除），所以 1/gamma 是一個人平均維持感染的時間。注意 S 永遠只減、R 永遠只增，而總和 S + I + R 保持常數——這個基本版本中沒有人出生或遷入。

模型的核心洞見藏在 I 方程裡：只有當 beta S - gamma > 0，也就是只有當 S 超過 gamma/beta 時，I 才會增長。一開始幾乎人人易感，所以疾病起飛；但每次感染都把一個人從 S 移到 R，一旦 S 跌破門檻 gamma/beta，疫情就轉折並消退——即使易感者仍有剩餘。這正是為何一場爆發會在「人人染病之前」就結束：疾病燒光了燃料。這個門檻是基本再生數與流行病門檻的種子。

SIR 刻意精簡：它假設人人均勻混合、免疫永久、各速率為常數——沒有年齡結構、沒有行為改變、沒有空間擴散。然而僅憑這三行，便導出真正有用的結論：群體免疫確實存在、高峰高度與最終規模可預測，而降低 beta（保持距離）或縮短 1/gamma（治療）會使曲線彎折。