單層位勢與雙層位勢（single- and double-layer potentials）

若一個點電荷給出基本的 1/r 位勢，那一個帶電的面給出什麼？把電荷攤成薄片鋪在一個邊界上，你就得到單層位勢——薄片上所有電荷各自點源位勢的疊加。把正負電荷配成遍布全面的微小偶極，你就得到雙層位勢。這兩種面位勢，是藉由把邊界值問題改寫成僅在邊界上的方程來求解它們的原料。

精確地說，兩者都是基本解在一個面 S 上的積分。密度為 mu 的單層位勢把密度 mu 的電荷放在 S 上、並把核（3D 的 1/r、2D 的 log r）對它積分；結果跨越 S 連續，但其法向導數跳躍一個等於密度的量——那跳躍就是表面電荷以場的不連續形式現形。密度為 nu 的雙層位勢把核的法向導數（每點一個偶極）對 nu 積分；這一個本身跨越 S 不連續，當你穿過面時跳躍一個正比於密度的量。由構造，兩者在面外都調和。

它們的用途是邊界積分法，一個漂亮的化約。要解狄利克雷問題，你猜解是某個未知面密度的雙層位勢、並施加邊界條件；跳躍關係便把這化為邊界面上密度的一個積分方程——一個少一維的問題。這類積分方程的弗雷德霍姆理論隨即給出存在性與唯一性，而數值上邊界元素法正是離散化這些面積分，只對邊界劃分網格而非整個內部。誠實的微妙之處正在於跳躍與極限行為：層位勢恰在面上奇異且不連續，把它們的邊界極限取對，正是此方法的全部技藝。