布朗運動的自相似性（self-similarity of Brownian motion）

一個碎形在每個放大倍率下看起來都一樣——放大一條海岸線，小海灣模仿著大海灣。布朗運動是最基本的隨機碎形。如果你以「正確」的長寬比放大一條布朗路徑的任何極小一段，你會得到一條在統計上與整體完全相同的曲線。沒有「自然的尺度」：一條布朗路徑無論你是看一微秒還是看一個世紀，都有相同的鋸齒特性。這種無尺度的粗糙性就是它的自相似性。

精確的陳述把長寬比固定下來。對任何正數 c，若你把時間軸拉伸 c 倍、把空間軸拉伸 sqrt(c) 倍，你會還原出一個標準布朗運動：重新尺度化的過程 (1/sqrt(c)) 乘以 B(ct)，作為 t 的函數，仍是一個標準布朗運動。這對不匹配的指數——時間乘 c 但空間只乘 sqrt(c)——正是貫穿一切布朗事物的那條平方根律：變異數隨時間增長，所以距離隨時間的平方根增長。要讓畫面在統計上不變，你必須讓空間比時間更溫和地收縮，收縮其平方根。這就是為什麼一條布朗路徑在任何放大倍率下、以這種 1 比平方根的比例縮放座標軸拍照，都與任何其他的無法區分。

自相似性不只是一幅漂亮的圖：它是一根計算的槓桿。因為定律在這種縮放下不變，許多量必須是「尺度協變」的——例如 B 在 [0, t] 上的最大值必須像 sqrt(t) 那樣縮放，而水平 a 的首達時間必須像 a^2 那樣縮放。你可以直接從縮放讀出這些指數，無需解任何東西。自相似性也讓布朗運動成為任何沒有內建長度或時間尺度的現象的典範模型。誠實的提醒：這種精確的自相似性是無漂移布朗運動所特有的；加入一個漂移項（一個穩定趨勢），對稱性就被破壞，因為固定的漂移確實有一個偏好的尺度。