Schilder 定理（Schilder's theorem）
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Schilder 定理是小雜訊極限下布朗運動的大偏差原理，也是從和的大偏差通往路徑大偏差的門戶。它問：若你把布朗運動以小因子 sqrt(epsilon) 縮小，所得的微小雜訊路徑接近某條給定確定性軌跡有多麼不可能？答案是路徑空間上的大偏差原理，其速率函數是路徑的動能——這是所有小雜訊（Freidlin-Wentzell）理論生長的種子。
設 B 為 [0,1] 上的標準布朗運動，考慮當 epsilon -> 0 時的縮放過程 sqrt(epsilon) B。Schilder 定理陳述 sqrt(epsilon) B 的分布在連續路徑空間 C[0,1]（均勻拓樸）上滿足速度為 1/epsilon、良好速率函數為 Cameron-Martin 能量的大偏差原理：若 phi 絕對連續、phi(0) = 0 且導數平方可積，則 I(phi) = (1/2) integral from 0 to 1 of (phi'(t))^2 dt，否則 I(phi) = +無窮。因此 P(sqrt(epsilon) B 保持接近 phi) 大致為 e^(-(1/2 epsilon) integral (phi')^2)。有限能量路徑恰是 Cameron-Martin 空間，即布朗運動的再生核希爾伯特空間，這並非偶然：速率函數正是 Cameron-Martin 範數的平方。
Schilder 定理是典範的「第三層」／過程層級大偏差原理，也是透過指數緊性加有限維 Cramer 界證明路徑空間大偏差原理的原型。它真正的威力來自收縮原理：把 Schilder 的大偏差原理通過小雜訊隨機微分方程的（連續）伊藤解映射推送，便得到 Freidlin-Wentzell 作用泛函，它控制逸出時間、逃逸路徑與亞穩態轉變。無窮維設定很重要——路徑空間上的指數緊性（利用布朗運動的連續性模估計）是不平凡的成分，因為未縮放的路徑處處不可微，只有重縮放後的有限能量極限進入速率函數。
sqrt(epsilon) B 在時間 1 達到水平 1 的最低成本路徑是直線 phi(t) = t，其能量 I = (1/2) integral_0^1 1 dt = 1/2。因此 P(sqrt(epsilon) B_1 接近 1) 大致為 e^(-1/(2 epsilon))，與 B_1 ~ N(0,1) 縮放 epsilon 後的高斯尾部相符：P(sqrt(epsilon) B_1 > 1) ~ e^(-1/(2 epsilon))。
Schilder：罕見布朗路徑的成本為其動能 (1/2) integral (phi')^2。
極小化子必須是有限能量（Cameron-Martin、絕對連續且導數屬 L^2）的路徑；布朗樣本路徑本身處處不可微且速率無窮，因此「最可能的罕見路徑」是光滑的，儘管典型布朗路徑並非如此。能量只對規則的 Cameron-Martin 方向收費。