收縮原理（contraction principle）

收縮原理是大偏差的轉移規則：它說明大偏差原理如何通過連續映射向前推送。若你知道某個原始隨機對象的大偏差原理，而你關心的是它的某個連續函數，你不需要從頭來過——其像自動滿足大偏差原理，且你透過一個乾淨的最小化得到其速率函數。這使大偏差具有模組性：證明一個基礎大偏差原理，再透過收縮導出許多其他的。

假設 X_n 在空間 X 上滿足以良好速率函數 I 為速率函數的大偏差原理，且 T: X -> Y 連續。則像隨機變數 Y_n = T(X_n) 在 Y 上滿足以良好速率函數 J(y) = 對所有滿足 T(x) = y 的 x 取 I(x) 下確界（即 I 在 y 的原像上的下確界，約定空集上的 inf = +無窮）為速率函數的大偏差原理。此直觀完全正確且值得用文字陳述：像偏差到 y 的最低成本方式，是取映射到 y 的成本最低原像 x，因此 y 的成本是 y 的所有起因 x 中的最小成本。I 的良好性保證下確界能被達到且 J 再次是良好速率函數。

收縮原理無處不在。Cramer 定理由 Sanov 透過把經驗測度沿平均泛函 nu -> integral x dnu 收縮而得，把相對熵化為勒讓德變換。Freidlin-Wentzell 速率函數由把 Schilder 的布朗大偏差原理沿伊藤映射（把驅動路徑送到隨機微分方程解）收縮而生。一個關鍵的誠實要點：凸速率函數在非線性收縮下的像通常是非凸的，這正是多重等可能偏差機制、亞穩阱與相共存進入理論的方式——它們作為收縮後 J 的多個局部極小值而可見，而勒讓德變換永遠無法產生這些。