采样与奈奎斯特准则

每一段数字录音都是一个奏效的骗局：麦克风产生一段光滑、连续的电压，但计算机只能存储一串有限的数。采样就是在等间隔的时刻测量那段连续信号、只保留这些读数的行为。令人惊讶的事实是：在恰当的条件下，那些离散的点包含了一切——原来那条光滑曲线能从它们中毫无损失地重建出来。奈奎斯特准则正是那个条件。

奈奎斯特-香农定理说：如果一个信号不含任何高于某个最高频率 B 的频率（即它是带限的），那么以每秒大于 2B 个样本的速率对它采样就能完美地捕获它，而且原信号能通过用 sinc 函数插值来重建。门槛速率 2B 是奈奎斯特速率；采样率的一半是奈奎斯特频率，即给定速率所能表示的最高频率。傅里叶图像解释了缘由：时间上的采样把信号乘以一列 delta，这在频率上把频谱与一列 delta 卷积，产生频谱的无穷多个平移副本。如果这些副本不重叠（即奈奎斯特条件），一个低通滤波器就能切出一份干净的副本，精确地恢复信号。

采样太慢，谱的副本就会重叠；高频折叠下来、冒充低频，造成一种不可逆的破坏，叫混叠——这正是电影里飞转的轮子看起来倒转的原因，也是录音要在数字化之前加一个抗混叠滤波器、扔掉高于奈奎斯特极限的频率的原因。这条定理是一切数字音频、成像和仪器测量的基础。诚实的小字注脚：完美重建假定信号严格带限、且采用理想的 sinc 插值，二者都无法完全实现，所以实际系统会以远高于 2B 的速率采样，并接受微小的、可控的误差。