傅里叶变换的伸缩性质

把一段录音用两倍速播放，音高就跳高一个八度；用半速播放，音高就降下来。把信号在时间上压缩，就在频率上拉伸；在时间上拉伸，就在频率上压缩。伸缩性质正是这种互易交换的精确表述：一个函数有多铺展，与它的频谱有多铺展，互为反比。

定量地说，若 f(x) 的变换是 F(k)，则缩放后的函数 f(a x) 的变换是 (1/|a|) F(k/a)。两件事同时发生。自变量 k/a 意味着频谱被拉伸了 a 倍（所以把 f 压缩——取大的 a——就把 F 加宽），而前因子 1/|a| 重新调节高度，使总面积或能量记账正确。绝对值处理 a < 0 的情形，那同时也把函数翻转。没有办法让一个信号在时间和频率上同时变窄：缩小一个必然加宽另一个，这是规律，不是任何特定方法的局限。

伸缩性质解释了为什么短脉冲需要宽带宽，而一条窄谱线需要长时间的观测。它支配着光谱仪的分辨率、通信信道的带宽，以及透镜的衍射极限光斑（小孔径把光铺展到大角度上）。再加上高斯函数是它自己的变换这一事实，伸缩性质就是傅里叶不确定性原理的一个面孔：信号的时间展宽与频率展宽之积无法被做得任意小。