向前誤差經驗法則（forward-error rule of thumb）

若你只從整個主題記住一條不等式，就記這條：向前誤差至多等於條件數乘以向後誤差。白話說，你答案有多錯（向前），上界是問題有多難（條件性）乘以你演算法有多好（向後誤差）。這是把三個核心概念綁在一起的主帳目恆等式，讓你不必計算真實答案就能預測準確度。

用法是：估計你方法的向後誤差（向後穩定演算法大約就是單位捨入，雙精度約 10^-16），估計問題的條件數 kappa，然後相乘。乘積就界定了相對向前誤差。舉例：對 kappa(A) ~ 10^8 的 A x = b 做向後穩定求解，相對向前誤差約為 10^8 乘以 10^-16 = 10^-8——所以 16 位裡約有 8 位正確有效數字。條件數直接告訴你有多少位數字能存活。

誠實地把它當成經驗法則，而非嚴格定理。它是數量級的估計：真正的界限帶著與問題相關的常數，最壞情況的方向可能不會被命中，而且條件性是個一階（線性化）概念，對大擾動可能誤導。儘管如此，它在實務上出奇地有用，並把核心訊息講得清清楚楚——要得到準確答案，你需要「同時」擁有良態問題「和」穩定演算法。任一缺席都足以毀掉結果。