有效位數

有效位數是一個數中真正攜帶有意義、可信任資訊的那些位數——從第一個非零數字往後算起。在 0.004520 中，有效位數是 4、5、2 和末尾的 0（共四位）；前導的零只標示小數位置，不算在內。它是一種非正式但實用的方式，用來說一個量被知道得有多精確。

在計算中，有效位數其實是關於相對誤差的陳述。說近似 x~ 與真值 x 一致到 d 位有效數字，大致意味著 |x~ - x| / |x| 約為 5 乘以 10^(-(d+1))，或簡單說相對誤差約為 10^(-d)。所以 d 位正確的有效數字與 10^(-d) 的相對誤差，是同一件事的兩種說法。雙精度浮點約攜帶 15 到 16 位有效十進位數，因為它的相對精度（單位捨入）約為 1.1e-16——這就是任何雙精度結果能被信任的位數上限。

有效位數重要，因為它告訴你何時該停止相信一份輸出。一個印出 3.14159265358979 的計算，也許只有前 6 位是正確的；其餘是累積誤差的雜訊。有兩個效應會悄悄摧毀有效位數：災難性抵消——相減兩個幾乎相等的數會抹去前導位數，把捨入雜訊提拔進結果；以及病態——條件數約 10^8 的問題，在任何演算法開始之前就已損失你 16 位中的約 8 位。印出比你掙得的更多位數，是一個安靜卻常見的謊言。