相對誤差

相對誤差把絕對誤差按真值的大小縮放，於是它告訴你答案中錯了多少比例，與單位和量級無關：若 x 是真值（非零）、x~ 是近似，則相對誤差為 |x~ - x| / |x|。3 公尺的絕對誤差，在你知道真長是 3 公尺（錯了 100%）還是 3000 公里（百萬分之一）之前毫無意義；相對誤差替你做出這個判斷。

由於無因次、與尺度無關，相對誤差是橫跨極不同量級時談精度的自然語言——而這正是浮點數的世界，其值從 1e-300 跑到 1e300，卻各自以大致相同的相對精度儲存（雙精度約 1e-16）。相對誤差也直接連到有效位數：約 10^(-d) 的相對誤差，意味你大致能信任 d 位有效數字。乘以 100 就得到熟悉的百分誤差。

相對誤差有自己的陷阱：當真值為零或接近零時，它無定義且在數值上爆炸。當 x 趨近 0，分母 |x| 縮小，即使絕對誤差很小，比值也會爆炸，因此在零點附近人們改回絕對誤差，或用 |x~ - x| / (1 + |x|) 這類混合容忍度。誠實的做法是同時對兩者回報或檢驗——答案大時看相對誤差小，答案小時看絕對誤差小。