向後誤差（backward error）

這裡有個巧妙的換問法，是可靠計算的動力來源。向後誤差不問「我的答案有多錯？」（那是向前誤差），而是問：「我的答案是哪個稍微不同的問題的精確解？」你算出了某個 y-hat。它不是「你那個問題」的精確解，但也許是某個輸入稍受擾動的鄰近問題的精確解。向後誤差就是這種最小擾動的大小。向後誤差很小是一枚榮譽勳章：它說你的演算法基本上解對了問題，只是把資料推動到雜訊範圍內而已。

精確地說：你算出 y-hat 作為 y = f(x) 的近似。向後誤差是最小的 ||delta-x||（常以相對形式 ||delta-x|| / ||x|| 衡量），使得 f(x + delta-x) = y-hat 恰好成立。換句話說，你把答案「推回」問題中，找出哪個輸入本來會乾淨地產生它，再量那個輸入離真實輸入有多遠。美妙之處在於，你往往能在「完全不知道真實答案 y」的情況下計算或界定向後誤差——這正是它在威爾金森手中成為數值分析主力的原因。

為何這種重新表述會贏：輸入資料本來就不精確（量測雜訊、捨入成浮點數）。若你演算法的向後誤差不大於資料中既有的不確定性，那麼你算出的答案就和精確答案一樣好——你根本無法把你引入的擾動和一開始的雜訊區分開來。這就是向後穩定演算法的全部目標。向前誤差隨後由主法則得出：向前誤差至多等於條件數乘以向後誤差。