向後誤差分析（backward error analysis）

在 1950 年代以前，分析捨入誤差意味著追著每一個微小誤差在計算中往前跑，眼看著誤差界膨脹成毫無用處的東西——對那些實際上跑得好好的計算預言出災難。詹姆斯·威爾金森（James H. Wilkinson）在英國國家物理實驗室操作早期電腦時，把問題反過來問，這個領域於是重生。他的想法是：不要追蹤誤差如何在答案中累積；而是透過證明「算出的結果是某個稍受擾動之輸入的精確答案」，把所有捨入一次交代清楚。

向後誤差分析就是界定演算法向後誤差的技術。你證明一個形如此的陳述：算出的 y-hat 恰好等於 f(x + delta-x)，其中 delta-x 的相對大小至多是單位捨入的某個適度倍數。其精妙在於，它把舊式向前分析無望糾纏在一起的兩件事乾淨地分開——「演算法」的品質（由向後誤差掌握）與「問題」的難度（由條件數掌握）。把兩者相乘就得到向前誤差；分開分析則各自變得可處理。

這種重新表述是科學計算中最重要的概念進展之一，也是威爾金森在 1970 年獲得圖靈獎的原因。它解釋了為什麼高斯消去法——長期被天真的向前界限視為無望地不準確——其實是可靠的：因為它向後穩定。這個教訓歷久彌新——評斷一個數值方法時，先證明向後誤差界，再把它和條件性結合來讀出準確度。單靠向前界限往往過於悲觀且沒有資訊量。