旋轉與縮放映射 a z（rotation-and-scaling map）

乘以一個固定複數 f(z) = a z 同時做兩件簡單的事：它旋轉平面、也縮放平面。這正是複數乘法本身的幾何意義。若把常數寫成極式 a = r e^(i alpha)，那麼把 z 乘上 a，就是把它的模乘以 r（拉伸或收縮），並把它的輻角加上 alpha（繞原點旋轉角度 alpha）。

要看清楚，取任意 z 寫成 z = R e^(i theta)。則 a z = (r e^(i alpha))(R e^(i theta)) = (r R) e^(i (theta + alpha))。新長度是 r R，新角度是 theta + alpha——長度被乘以 r，角度被增加 alpha。純旋轉是 r = 1 的情形（a = e^(i alpha)）；純縮放是 alpha = 0 的情形（a 是正實數）。舉例來說，乘以 i 是 90 度旋轉，因為 i = e^(i pi/2)。

因為它保持曲線之間的角度、又把所有長度乘以同一個倍數，a z 是相似變換的原型，也是最簡單的非平凡共形映射。它把原點固定不動（a 乘 0 等於 0）。與平移結合就得到所有 f(z) = a z + b、即線性映射，這已經涵蓋了平面的每一個剛體運動與相似變換，並構成莫比烏斯變換的骨幹。