黎曼問題（Riemann problem）
/ REE-mahn /
拿一條守恆律，餵給它能想像到最簡單而有趣的初始資料：單一個跳變。原點左側全是一個常數值、右側全是另一個常數值，在 x = 0 處有一個乾淨的間斷。接下來會發生什麼？這個看似樸素的問題——黎曼問題——正是整套守恆律理論賴以建構的基本單元。
具體地說，求解 u_t + f(u)_x = 0（或系統 U_t + f(U)_x = 0），初始資料為 u_0(x) = u_L（x < 0）與 u_R（x > 0）。這資料有一個漂亮的對稱性：它在縮放 (x, t) -> (a x, a t) 下不變，故解只依賴於單一個相似變數 xi = x/t。這把偏微分方程壓縮成關於 xi 的常微分方程，使答案明確。對純量凸通量而言，解恰是「一道」基本波：若資料是壓縮性的（伯格斯方程中 u_L > u_R）則為一道震波；若是擴張性的（u_L < u_R）則為一把稀薄扇。對 n 乘 n 的嚴格雙曲系統而言，答案是 n 道基本波組成的序列——震波、稀薄波與接觸間斷，每個特徵場一道——分隔出 n+1 個常數狀態，藉由讓通過 (u_L, u_R) 狀態的波曲線相交而求得。
它的重要性在於：黎曼問題是雙曲理論的局部原子。它的解定義了可容許性（這是熵條件受檢驗之處），它是一般解中任何間斷如何行為的模型，而它字面上就是哥德諾夫型數值格式內部的引擎——這類格式在每個網格界面上求解一個微小的黎曼問題來推進模擬。經典的物理實例是震波管：一片分隔高壓與低壓氣體的薄膜被衝破，於是湧出一道震波、一道接觸與一道稀薄波——恰好是尤拉黎曼問題所預測的三波結構。
伯格斯方程，並排兩個黎曼問題。取 u_L = 2、u_R = 0（壓縮性），答案是一道以速度 s = (2+0)/2 = 1 移動的震波。取 u_L = 0、u_R = 2（擴張性），答案是介於射線 x = 0 與 x = 2t 之間的一把稀薄扇 u = x/t。同一個方程、相反的資料、相反的波。
資料中的單一跳變化解為震波與稀薄波，在 x/t 中自相似。
拉克斯證明：當初始跳量 |u_L - u_R| 很小時，嚴格雙曲系統的黎曼問題可解；對大跳量而言，存在與唯一可能失效，波結構也變得微妙得多。乾淨的自相似圖像是一個小資料的局部結果。