氣體動力學的尤拉方程（Euler equations of gas dynamics）
/ OY-ler /
把流動的氣體剝去其微小的內摩擦與熱傳導，支配它的便是連續流體最乾淨的運動定律：守恆質量、守恆動量、守恆能量。氣體動力學的尤拉方程正是這三條守恆律——非線性雙曲系統的奠基範例，也是震波最初在物理上被理解之處。
在一個空間維度中，守恆量是密度 rho、動量 rho u 與總能量 E，系統為 rho_t + (rho u)_x = 0、(rho u)_t + (rho u^2 + p)_x = 0、E_t + (u(E + p))_x = 0，並由一條把壓力 p 與密度、能量相連的狀態方程封閉（對理想氣體，p = (gamma - 1)(E - rho u^2/2)）。寫成 U_t + f(U)_x = 0，通量雅可比 f'(U) 有三個實特徵值——特徵速度 u - a、u、u + a，其中 a = sqrt(gamma p / rho) 是局部聲速。因此系統是雙曲的（在 a > 0 時嚴格雙曲）。它的三個波族美妙地各異：u +/- a 兩場是真正非線性的，攜帶震波與稀薄波（能變陡成震波的聲波），而中間的 u 場是線性退化的，攜帶一道接觸間斷——一個滑移面，其兩側密度與溫度跳變、但壓力與速度不跳。
它的重要性在於：尤拉方程是整套理論的試驗場與動機——黎曼問題、朗肯-雨貢尼奧、熵條件與消失黏性，全是為了理解氣體震波而鍛造的。它們模擬超音速飛行、爆炸、天文噴流與恆星風。而它們始終令人謙卑：多維、一般大初始資料下解的全局存在性是「開放」的，即使在一維，大資料理論也很微妙。此處的物理熵是一個真正的凸熵，這正是可容許震波的第二定律式挑選具有真實熱力學內涵的原因。
一維尤拉方程的黎曼問題就是震波管：一根管子左側為高壓氣體、右側為低壓氣體，由一片薄膜分隔，於 t = 0 衝破。其解恰有三道波——一道衝入低壓氣體的震波、其後的一道接觸間斷，以及一把往回擴張進高壓氣體的稀薄扇——這就是 u - a、u、u + a 的典型三波型樣。
三個特徵場 u - a、u、u + a 給出震波管的震波、接觸與稀薄波。
尤拉方程是那維-斯托克斯方程的無黏（零黏性）極限；缺失的黏性正是此處震波無限薄、以及需要熵條件來挑選它們的原因。把黏性加回去就得到那維-斯托克斯方程，其三維全局正則性本身就是一個著名的開放（千禧年大獎）問題。