隨機漫步的常返與暫態（波利亞定理）

放一個漫步者自由地隨機遊走，永遠不停地走獨立的步。這裡有一個看似簡單卻有著驚人答案的問題：漫步者究竟會不會回到起點的家？這個令人震驚的發現，出自喬治·波利亞 1921 年之手：答案完全取決於漫步者遊走其中的空間之維度。

對任何狀態都有兩種可能結果。一個漫步若以機率 1 回到起點，就稱為常返 —— 而若它確定回來一次，它就會無窮多次回來。一個漫步若有正的機率永不回來，就稱為暫態；在那種情形下它只造訪有限次，最終逃逸到無窮遠，再也不會在原點現身。波利亞定理說，對整數格上的對稱簡單隨機漫步而言：在一維（一條線）中它是常返的，在二維（一張格網）中它仍是常返的，但在三維以及每一個更高維度中它是暫態的。民間口號是「醉漢找得到回家的路，但醉鳥可能找不到」。

原因是兩種效應之間的競爭。在第 n 步回到原點的機率大致以 n^(-d/2) 衰減，其中 d 是維度。要判定是否回來，你把這些機率對所有 n 加總：當 d 為 1 或 2 時，n^(-d/2) 的和發散（給出常返），但當 d 為 3 或更大時則收斂（給出暫態）—— 恰好以 d = 2 為界。在三維中空間實在太大了：漫步者有太多方向可以逃逸，以致曾經回到原點的機率只有約 0.34。常返對暫態是任何過程最基本的分類之一，而隨機漫步正是這個區分初次變得鮮明的地方。