波萊爾-坎特利引理（Borel-Cantelli lemmas）
/ bor-EL kan-TEL-ee /
讓一個實驗永遠進行下去，每次都留意某個事件——一次破紀錄的高溫、一串連續一千次正面、一次感測器故障。兩個自然的問題：這個事件最終會徹底停止發生嗎？還是無論你走得多遠，它都會一再重現？波萊爾-坎特利引理藉著看一個數來回答：這個事件在所有試驗上機率的總和。
「無窮多次發生」一詞，意思是事件一再重現、沒有最後一次。第一引理（不需獨立）：若機率總和為有限數，sum of P(A_n) < infinity，則以機率 1 事件只發生有限多次——最終會徹底停止。直覺上，若機率縮小得夠快以至可加總，則發生的尾巴必然枯竭；其證明只是把聯集界套用到尾部。第二引理（需要獨立）：若事件獨立且其機率總和為無窮，sum of P(A_n) = infinity，則以機率 1 事件無窮多次發生。所以對獨立事件，分界線是銳利的——可加總意味有限多次，不可加總意味無窮多次，是一個乾淨的零一二分。
這些引理是證明幾乎必然敘述——以機率 1 成立、最強的那種斷言——的標準機制。它們是強大數法則背後的引擎，也是諸如重對數律這類銳利敘述的引擎。誠實的微妙處：兩個方向並不對稱。第一引理只需可加總；第二引理確實需要獨立——少了它，不可加總的機率可能無法迫使「無窮多次」（想像一個固定事件永遠重複，以機率 1/2 它根本從未發生，然而機率總和卻是無窮）。
永遠擲一枚硬幣；令 A_n 為「第 n 次擲出正面」。這裡 P(A_n) = 1/2 且總和為無窮，又因各次擲幣獨立，由第二引理，正面以機率 1 無窮多次出現——一如預期。反之，若 A_n 的機率是 1/n^2（可加總），第一引理會迫使 A_n 在某個有限點之後幾乎必然停止發生。
機率可加總：有限多次。不可加總且獨立：無窮多次。
兩個方向不對稱：第一引理只需可加總，但第二引理確實需要獨立。沒有獨立，不可加總的機率未必迫使「無窮多次」。