RC 與 RL 電路

撥動開關，電路不會立即反應——電容器需要片刻充電，線圈需要片刻讓電流建立。那份延遲、那種平滑地趨近最終狀態的過程，由一個一階微分方程支配，而 RC 與 RL 電路正是工程師時刻取用的教科書範例。

在 RC 電路（電阻 R 與電容 C，外加電壓 V）中，克希荷夫電壓定律把迴路上的電壓降相加：電阻的 RI 加上電容的 q/C 等於 V。由於電流 I 是 dq/dt，這便成為 R dq/dt + q/C = V——一個關於電荷 q(t) 的一階線性方程。在 RL 電路（電阻與電感 L）中，同樣的迴路法則給出 L dI/dt + RI = V，一個關於電流的一階線性方程。兩者皆具（變化率項）+（衰減項）=（電源）的形式，且都解為一個按指數消退的暫態部分，加上一個由電源決定的穩態部分。對於定值電源，電荷或電流沿一條平滑的指數曲線升或降，趨向其最終值。

這些電路是牛頓冷卻與混合水箱的電學雙胞胎——全是具有相同指數個性的一階線性方程。其自然時間尺度是時間常數：電容電路為 RC，電感電路為 L/R，即暫態消退到初始大小約 37% 所需的時間。經過幾個時間常數後，暫態消失，只剩穩態。