波函数的光滑性

波函数的光滑性，是对一个物理波函数提出的「要接得整齐」的要求：凡是势为有限的地方，波函数及其斜率都必须连续，不得有突然的跳跃或尖锐的扭折。这并非随意的审美偏好，而是薛定谔方程自身的直接后果，因为方程中含有波函数的一个二阶导数。

推理很干净。波函数的跳跃会使它的一阶导数变成无穷，斜率的扭折会使二阶导数变成无穷。可方程说，那个二阶导数正比于有限的量 (V − E) 乘以波函数。一个有限的右边不可能等于一个无穷的左边，所以在 V 有限之处，波函数必须光滑。

这些光滑性条件，是用来求解实际问题的实用「胶水」。在任何由不同势的区域拼成的情形里——一道台阶、一口阱、一道势垒——你在每个区域分别求解方程，然后要求各段在每个接缝处数值与斜率都对得上。正是这些匹配要求，决定了被允许的能量，以及波在两侧的相对大小。