粒子数算符

粒子数算符通常记作 N，由先作用湮灭算符、再作用产生算符依次构成。它的职责很简单，就是计数：作用在含 n 个量子的态上，它原样返回这个态，并乘上整数 n。从这个意义上说，它读出的是一个态位于能级阶梯往上的第几级。

由于它是产生算符乘以湮灭算符，粒子数算符是厄米的，因而是一个货真价实的可观测量，其本征值为非负整数。这是一个深刻的结果：正是阶梯算符的代数迫使这一计数只能取整数，这便是为何振子中的能量、场中的粒子，都以离散的整份出现，而非连续的份额。

振子的哈密顿量不过是粒子数算符乘以 ℏω 再加上那个常数的零点项，所以测量能量与清点量子在本质上是同一次测量。在量子场论里，粒子数算符清点有多少光子、声子或其他粒子占据着某个给定模式，从而成为连接场的波动图景与其量子的粒子图景之间的桥梁。