畢氏恆等式
在數十條三角恆等式中，有一條是其餘幾乎全部的母親。它說：對任何角 theta，恆有 sin^2 theta + cos^2 theta = 1。陳述簡單、無法打破，是三角學中最有用的單一關係。
它為真的理由，用單位圓一行就能說清：點 (cos theta, sin theta) 落在半徑為 1 的圓上，而該圓的方程式是 x^2 + y^2 = 1，所以 cos^2 theta + sin^2 theta = 1 自動成立。（這裡 sin^2 theta 是 (sin theta)^2 的簡寫。）對銳角而言，它就是把畢氏定理用在圓內那個直角三角形上，其兩股為 sin theta 與 cos theta、斜邊為 1——名稱由此而來。憑這一條恆等式，你永遠能把正弦換成餘弦：sin theta = sqrt(1 - cos^2 theta)，差一個正負號。
把恆等式整條相除可得兩個親戚。每項除以 cos^2 theta 得 1 + tan^2 theta = sec^2 theta；除以 sin^2 theta 得 1 + cot^2 theta = csc^2 theta。這三條是化簡式子、證明其他恆等式、以及微積分中三角代換的引擎。初學者的經典錯誤是漏掉平方或正負號——sin theta + cos theta「不」等於 1，只有它們的平方和才等於 1。
若 cos theta = 3/5 且 theta 為銳角，求 sin theta。由 sin^2 theta = 1 - cos^2 theta = 1 - 9/25 = 16/25，得 sin theta = 4/5（取正，因 theta 為銳角）。這正是 3-4-5 三角形披上三角函數外衣的樣子。
知道正弦或餘弦其一，立即得到另一個，差一個由象限決定的正負號。
相加為 1 的是平方，不是函數本身；而當你開根號由 cos theta 還原 sin theta 時，必須依角所在象限補回正確的正負號。