投影算子

投影算子刻画了把一个向量沿某选定方向落到一个子空间上这一想法。其定义性质是代数的，且优美简单：P^2 = P。施加投影两次与施加一次结果相同，因为已经落在目标子空间里的向量再无可投。

每个这样的 P 都把整个空间劈成两块互补部分。它的像 im P 是 P 投到何处，它的核 ker P 是 P 沿何方向投。关键的结构事实是 V 为此二者的直和，V = im P (+) ker P：每个向量都唯一地分解为像中之物加核中之物，即 v = P(v) + (v - P(v))。前者落在 im P 中；后者落在 ker P 中，因为 P(v - P(v)) = P(v) - P^2(v) = 0。

反过来，任何直和分解 V = U (+) W 都给出一个投影：把每个向量送到它的 U 分量。所以投影与直和分裂是同一现象的两种视角。注意分裂由像与核共同决定——许多不同的投影共享同一个像却沿不同的核投影，所以投影并不仅由它落到何处所决定。

一个重要的细化：若空间有内积，且你要求投影方向与目标子空间正交，便得到正交投影，那是最小二乘背后的算子。这一附加条件使 P 在 P^2 = P 之上又自伴，P^* = P。没有它，P 只是斜投影。