乘積與商（比值）的分布（distribution of a product and a quotient）

並非所有隨機量的組合都是和。面積是長乘寬；速度是距離除以時間；兩個有雜訊讀數之比是商。當輸入的變數是隨機的，乘積 XY 與商 X/Y 也是隨機的，而它們的分布可能與輸入看起來出奇地不同。

求它們的乾淨做法是多變數變換。要得乘積，引入一個輔助變數，例如令 W = XY 並保留 V = X，用 Jacobian 算出 (V, W) 的聯合密度，再把輔助變數 V 積分掉，留下 W 的密度。商的做法相同：令 R = X/Y，保留一個輔助變數，求聯合密度，再把輔助變數積掉。對獨立變數，這會導向乾淨的積分：比值的密度為 f_R(r) = 對所有 y 積分 f_X(r y) 乘以 f_Y(y) 乘以 |y| dy，其中 |y| 直接來自 Jacobian。

比值值得敬畏，因為它會作怪。除以一個可能接近零的變數會產生厚尾，甚至徹底毀掉均值。教科書級的震撼：兩個獨立標準常態之比是標準 Cauchy 分布，它根本「沒有」均值、「沒有」變異數 —— 不論你收集多少資料，它的平均都不會安定下來。所以一個由完全乖巧的輸入構成的比值，可能根本沒有期望值。對樣本比值要小心。