連續分布
柯西分配（Cauchy distribution）
/ KOH-shee /
把一支雷射筆對著牆面，以隨機角度開啟，標記光束打中的位置。多數標記聚在正前方附近，但偶爾一個近乎掠射的角度會把標記甩到牆面荒謬遠處。這個位置服從柯西分配——一個「類似」鐘形的形狀，卻是機率論最著名的警世故事，因為它看似溫馴，實則沒有平均、也沒有變異數。
標準柯西密度為 f(x) = 1/(pi (1 + x^2))，一個以 0 為中心的對稱尖峰，表面上很像常態的鐘。但它的尾部只以約 1/x^2 衰減——遠比常態的指數級快速衰減更肥。這份肥厚對一般的摘要量是致命的：E[X] 的積分不收斂，所以平均未定義；變異數無限；動差母函數不存在。你仍可用它的中位數（中心）與一個描述寬度的尺度參數來刻畫它，但「平均」根本不是有意義的量。
柯西分配是讓所有人保持誠實的標準反例。大數法則對它失效：柯西樣本的累進平均「不會」安定下來——它永遠遊蕩，因為 n 個柯西變數的平均本身仍是同樣散布的柯西，並不比單一抽樣更平靜。中央極限定理也失效，因為它需要有限的變異數。所以每當有人說「平均掉就好」或「CLT 適用」，柯西就是那個提醒：那些規則要靠有限的動差才能運作。
把 1,000 個標準常態數平均，平均值很小、接近 0，散布以約 1/sqrt(1000) 縮小。把 1,000 個標準柯西數平均，平均值仍只是標準柯西——完全沒有變緊；單一個離奇抽樣就能主宰整個平均。
肥尾意味著平均永不安定——無平均、無變異數、無 CLT。
柯西看似鐘形，卻「沒有」平均、變異數無限；增加樣本平均也無濟於事，所以大數法則與中央極限定理對它都失效。
又称
另见