佩龍–弗羅貝尼烏斯定理（Perron-Frobenius theorem）
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為什麼轉移矩陣總有一個平衡，而且它唯一又可抵達？深層的答案來自線性代數而非機率：佩龍–弗羅貝尼烏斯定理，一個關於非負元素矩陣的強大結果。它正是平穩分布存在與唯一、以及 P^n 收斂背後的結構性原因。
定理說，一個元素非負的不可約矩陣有一個最大的特徵值，它是實的、正的、且單純（無重根），其特徵向量的元素全部嚴格為正 —— 而沒有其他特徵向量能取成全正。對隨機矩陣 P（列加總為 1），那個首要特徵值恰好是 1，所有其他特徵值的絕對值至多為 1，而那個正的左特徵向量、歸一化到加總為 1，正是解 pi P = pi 的平穩分布 pi。所以「存在一個在每個狀態上都有正權重的唯一平衡」，不過是佩龍–弗羅貝尼烏斯套用到不可約鏈上的結果。
它也解釋了收斂與其速度。若鏈非週期，特徵值 1 是嚴格的冠軍：其他每個特徵值的絕對值都嚴格小於 1，於是它們對 P^n 的貢獻衰減，只留下平穩的部分 —— 因此 P^n 收斂。第二大特徵值的絕對值掌控速度有多快：1 與它之間的間隙決定了混合速率。週期鏈有其他特徵值也落在單位圓上（如 -1），這正是它振盪、無法收斂的原因。PageRank 讓佩龍–弗羅貝尼烏斯名聞遐邇：Google 的排名就是整個網路那個巨大隨機矩陣的正佩龍特徵向量。
天氣 P 的兩列為 (0.8, 0.2) 與 (0.4, 0.6)。它的特徵值是 1 與 0.4。佩龍–弗羅貝尼烏斯：1 是最大且單純的，其正的左特徵向量為 (2/3, 1/3) —— 即平穩分布。另一個特徵值 0.4 的絕對值小於 1，所以與平衡的距離每一步大約以 0.4^n 縮小 —— 因為 0.4 很小，故收斂很快。
特徵值 1 給出平穩分布；下一個特徵值的大小決定收斂的速度。
佩龍–弗羅貝尼烏斯需要不可約性，首要特徵向量才會唯一且嚴格為正。可約矩陣（多個閉類）可以有數個獨立的平衡 —— 唯一性並非白給的。