平穩（不變）分布（stationary / invariant distribution）

假設你找到一種把機率攤在各狀態上的方式，使得在鏈走一步之後，這個攤法看起來與之前一模一樣。淨流動為零；即使個別棋子仍在移動，畫面卻凍結了。這個自我複製的分布就是平穩分布 —— 鏈的平衡，也就是它運行夠久後「想要」呈現的分布樣貌。

若列向量 pi（元素非負且加總為 1）滿足 pi P = pi，則它是平穩的：施加一步後它不變。寫開來，對每個 j 有 pi(j) = 對所有 i 加總 pi(i) P(i, j) —— 流「入」每個狀態 j 的機率，恰好等於已在那裡的機率。要找 pi，你解這個線性系統：平衡方程 pi P = pi 連同歸一化條件 sum of pi(i) = 1。這是一個特徵向量問題 —— pi 是 P 對應特徵值 1 的左特徵向量 —— 一點線性代數便能破解。

對不可約且正常返的鏈，平穩分布存在且唯一，且 pi(i) 等於回到 i 的期望返回時間的倒數 —— 你回得越快的狀態，承載越多的平衡權重。關鍵在於，平穩「不等於」極限：每個極限分布都是平穩的，但週期鏈有個完全合用的平穩 pi 卻永不收斂於它。平穩分布是 PageRank 的骨幹、是排隊分析的核心，也是每一個馬可夫鏈蒙地卡羅方法的基礎 —— 那些方法刻意打造一條鏈，使它的平衡恰好是你想抽樣的分布。