主值（principal value）
/ Cauchy: koh-SHEE /
有些積分看似無望，因為被積函數在範圍中間爆炸。函數 1/x 是標準的肇事者：在原點附近它衝向正負無限大，所以 1/x 乘探針的積分似乎沒有定義。然而麻煩有一部分是錯覺——零點左側那一塊又大又負，右側那一塊又大又正，兩者幾乎抵消。主值正是認真看待這種抵消，以萃取出一個有限、良好定義的答案的辦法。
確切地說，柯西主值在奇異點周圍挖掉一個寬度為 epsilon 的對稱小缺口，在剩下的部分上積分，再讓 epsilon 縮到零。對 1/x 而言，這就是在 |x| > epsilon 上積分並取極限；因為對稱的切割對兩側一視同仁，發散的兩半相互抵消，極限因而存在。這定義了一個分布，記作 p.v. 1/x，它對探針的作用，是 phi(x)/x 在 |x| > epsilon 上積分的極限。它是一個貨真價實的分布，但絕對不是函數 1/x——它是 1/x 經過正則化、尊重抵消後的版本。
主值之所以重要，是因為像 1/x 這樣的對象層出不窮——出現在希爾伯特轉換、傅立葉分析、基本解之中——而天真的積分並不收斂。主值賦予它們嚴謹的分布意義，且它透過索霍茨基-普萊梅利公式與 δ 處於精確的關係之中，該公式把 1/(x 減 i0) 分解為 1/x 的主值加上 delta 的某個倍數。
1/x 從 -1 到 1 的積分主值為 0：從 -1 到 -epsilon 的貢獻，是從 epsilon 到 1 的貢獻之負鏡像，所以對每個 epsilon 都恰好抵消，極限為 0——儘管兩半各自都發散。
在奇異點周圍對稱地修剪，讓發散的兩半抵消成一個有限值。
主值依賴於缺口是對稱的。若修剪一個不對稱的缺口，極限可以是你想要的任何值——所以 p.v. 1/x 之所以是一個確定的分布，靠的是那個公平的切割，而非 1/x 本身的性質。