預層與層（presheaf and sheaf）

設想你想追蹤某空間上的某種局部資料——比方說，定義在它每個開區域上的連續函數。對每個開集 U 你指定一個這類資料的集合 F(U)，而每當一個較小的開集 V 落在較大的 U 之內時，你有辦法把 U 上的資料限制到 V（你只要看那函數在較小區域上的取值）。這套記帳規則——把資料指派給開集，再配上能正確複合的限制映射——就是預層。它純屬形式：沒有任何東西逼使資料表現得像局部與整體幾何實際表現的那樣。

層就是滿足「真正的局部資料必須滿足的兩條規則」的預層。設開集 U 被一族較小的開集 U_i 覆蓋。那麼：(1) 局部性（分離性）——若兩個截面 s, t 屬於 F(U)，且它們在每個 U_i 上限制後相同，則它們在 U 上原本就相等；你不可能有兩個處處局部看起來相同的不同整體對象。(2) 黏合——若給定每個 U_i 上的截面 s_i，且它們在每個交集 U_i 交 U_j 上一致，則存在一個定義在整個 U 上的截面 s，限制到各 U_i 即為 s_i。兩條合起來是說：U 上的一個截面恰恰等同於一族相容的局部截面。形式上，拓樸空間 X 上的預層 F 是從 X 的開集到集合（或 Ab，或環）的反變函子；而它是層，當對每個開覆蓋，序列 F(U) -> 各 F(U_i) 之積 =>= 各 F(U_i 交 U_j) 之積 是一個等化子。

這個區別之所以要緊，是因為大多數自然的局部資料指派「都是」層——連續函數、光滑函數、全純函數、叢的截面——而層公理正是讓你能從局部對象重建整體對象的東西，這正是現代幾何的整部引擎。但並非每樣東西都是層：把每個非空 U 都送到一個固定群 A 的常值預層，著名地「不是」層，因為在一個不連通的開集上，你可以在不同連通片上選不同的常數，這些局部相容的選擇卻沒有單一的整體值。對於一個違反公理的預層，誠實的補救是層化，它逼使它成為離它最近的層。