局部賦環空間（locally ringed space）

一個空間上的幾何，由你允許其上的函數所主宰。賦環空間是記錄此事最樸素的方式：一個拓樸空間 X 配上一個環的層 O_X，其中 O_X(U) 意在表示「開集 U 上可接受函數的環」。但要做幾何，你需要的不只是函數——你需要在每一點知道哪些函數在該處為零，這樣才能談一個函數在一點的值，以及一個函數在該點附近是單位（非零，故可逆）。局部賦環空間就是莖都為局部環的賦環空間，這恰恰是讓「一點處之值」有意義的額外結構。

精確地說，賦環空間是一對 (X, O_X)，其中 O_X 是 X 上交換環的層；它在點 p 的莖 O_{X,p} 是 p 附近函數芽的環。它是「局部」賦環空間，當每個莖 O_{X,p} 都是局部環——一個具有唯一極大理想 m_p 的環。此時剩餘域 k(p) = O_{X,p}/m_p 就是芽 f 的「值 f(p)」棲身的域：f(p) 是 f 在 k(p) 中的像，而 m_p 恰是那些在 p 處為零的芽。局部賦環空間的態射是一個連續映射 f: X -> Y，連同一個方向正確的環層映射（把 Y 上的函數拉回成 X 上的函數），並受「局部」條件約束：誘導的莖映射 O_{Y,f(p)} -> O_{X,p} 把極大理想送進極大理想——亦即把在 f(p) 處為零的函數拉回成在 p 處為零的函數。正是這最後一條件使代數與幾何相符。

這是每個幾何對象所棲身的抽象框架：光滑流形（配光滑函數層）、複流形（全純函數）以及——概形論的全部要點——概形（Spec R 連同其結構層）全都是局部賦環空間；而仿射概形恰恰就是同構於 (Spec R, O_{Spec R}) 的局部賦環空間。一個微妙卻關鍵的點：態射定義中的「局部」並非自動成立。存在賦環空間的映射卻不是局部賦環空間的映射；丟掉局部條件會容許幾何上荒謬的態射——對概形而言，極大理想條件正是逼使環同態 R -> S 誘導出正確的連續映射 Spec S -> Spec R 的東西。