龐特里亞金類（Pontryagin class）
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龐特里亞金類是「實」向量叢的示性類——陳類在實叢上的類比。實叢沒有自然的複結構，所以你無法直接寫出給出陳類的行列式公式；訣竅是把叢複化（與 C 張量）並讀出其陳類，再只保留那些存活下來的。結果是一列不變量 p_1, p_2, ...，它們偵測實叢的扭轉，並且重要地偵測流形切叢的扭轉。
精確地說，對 M 上的實向量叢 E，複化為 E (x) C，並定義第 j 個龐特里亞金類為 p_j(E) = (-1)^j c_{2j}(E (x) C)，住在 H^{4j}(M; Z) 中。複化的奇陳類是 2-撓元，被捨去，這就是為什麼龐特里亞金類坐落於次數 4, 8, 12, ...，且只有偶指標的陳類出現。經由陳-韋伊，用曲率為 Omega（取值於 so(n)，即反對稱的 2-形式）的度量聯絡，全龐特里亞金類由 det(I + (1/2pi) Omega) 保留次數 4j 的部分代表；具體地，p_1 由 -(1/8pi^2) tr(Omega ^ Omega) 代表。對偶數秩的定向叢，歐拉類是更細的不變量，其平方是最高的龐特里亞金類。
龐特里亞金類是光滑流形拓樸的主力不變量。它們進入符號差定理（希爾策布魯赫：4k 維流形的符號差是龐特里亞金數的一個特定多項式）、構成共邊（cobordism）的障礙，而龐特里亞金數是區分奇異光滑結構的積分——米爾諾用它們偵測出奇異 7-球面。兩個誠實的警告：如同所有陳-韋伊輸出，曲率公式只看見實（非撓）的部分；而經複化與陳類的關係意味奇次數的資訊被刻意丟棄（它會是 2-撓元）。龐特里亞金類比陳類粗糙，正是因為實叢比複叢攜帶較少的結構。
閉定向 4-流形 M 切叢的第一龐特里亞金類積分得一個數 p_1(M)，而希爾策布魯赫符號差定理說 M 的符號差（H^2 上交截形式的符號差）等於 p_1(M)/3。例如複射影平面 CP^2 的符號差為 1，故其 p_1 的積分必為 3——這是個由曲率積分釘下的拓樸事實。
在維數 4 中，符號差 = p_1/3：一個龐特里亞金數算出一個純拓樸不變量。
龐特里亞金類住在次數 4j（而非陳類的 2j），且它們捨去複化的奇資訊，那只是 2-撓元。所以它們比陳類粗糙——複叢兩者都有，而龐特里亞金類是陳類的一個非單射函數。一如既往，陳-韋伊公式只看見非撓（實）的部分。