陳-韋伊理論（Chern-Weil theory）
/ churn-VYE (Chern as in 'churn'; Weil as 'vye') /
陳-韋伊理論是把聯絡的曲率煉成拓樸的鍊金術。任選一個叢，在其上選任一聯絡，算出它的曲率，把曲率餵入一個合適的多項式——出來的是一個閉的微分形式，其上同調類不依賴於你所選的聯絡。曲率是幾何（換聯絡它就變），但一道特殊的配方從中萃取出某個純屬該叢拓樸的東西。那個東西就是示性類。
精確地說：設 G 是結構群、其李代數為 g，並設 P 是 g 上的不變多項式——一個在 G 的伴隨作用下不變的 g 上多項式函數（對矩陣群，想成特徵值的對稱函數，如跡或行列式）。給定一個帶曲率 2-形式 Omega（取值於 g 的 2-形式）的聯絡，把 Omega 代入 P，得到底空間上一個普通的微分形式 P(Omega)。兩個事實成就了這魔法：(1) P(Omega) 是閉的，d P(Omega) = 0，這由 P 的不變性加上比安基恆等式推出；(2) 它在 H^*(M; R) 中的德拉姆類 [P(Omega)] 不依賴於聯絡——以直線 A_t = A_0 + t(A_1 - A_0) 在兩個聯絡間內插，並證明其差是恰當的（一個轉移形式）。於是把不變多項式送到上同調類的映射，即陳-韋伊同態，僅憑該叢就良好定義。
這正是示性類的微分幾何構造：對複叢曲率的適當不變多項式施以此法，得到陳類；對實叢得到龐特里亞金類；而 Pfaffian 給出歐拉類。它的大優點是可計算性——你得到可積分的顯式閉形式，這正是高斯-博內與指標定理如何獲得局部曲率公式的途徑。兩個誠實的局限：其一，陳-韋伊只產生實（德拉姆）上同調中的類，故對整數上的拓樸定義所偵測的撓元視而不見；陳-韋伊形式可以是恰當的，而其整係數類卻是非零的撓元。其二，它需要光滑的叢與聯絡——對格拉斯曼流形與 K 理論上的純拓樸理論，你需要同倫論的定義，那住在另一個領域。
對帶曲率 Omega 的複向量叢，不變多項式 det(I + (i/2pi) Omega) 展開為次數 0, 2, 4, ... 的形式之和；次數為 2j 的部分是一個代表第 j 個陳類 c_j 的閉 2j-形式。最簡單的情形，複線叢，給出代表 c_1 的單一 2-形式 (i/2pi) Omega——把它在一個閉曲面上積分得到一個整數，即該叢的度。不同的聯絡給出不同的 2-形式，但總是相同的那個整數。
det(I + (i/2pi)Omega) 一次打包了所有陳類；其各部分是閉形式，其類無視所用的聯絡。
陳-韋伊只在實（德拉姆）上同調中計算示性類——它對撓元視而不見。在整係數上同調中是純撓元的類，在陳-韋伊中顯示為零，所以陳-韋伊形式消失並不能證明整係數類消失。要完整的整係數／撓元故事，你需要拓樸（格拉斯曼／K 理論）的定義。