曲率形式（curvature form）
曲率是阻止彎曲空間變平坦的東西，被局部化、無窮小化。取和樂的想法——繞迴路平行移動使向量轉動回來——再把迴路縮成一點：在極限下，每單位所圍面積的轉動就是曲率。它度量聯絡所選的水平方向有多麼無法拼成可積的切片。曲率消失之處，叢局部上是平凡且帶平坦聯絡的；不消失之處，無論怎麼選局部標架都無法使聯絡消失。
精確地說，對主叢上的聯絡 1-形式 omega，曲率是由卡坦結構方程 Omega = d omega + omega ^ omega 給出的取值於 g 之 2-形式 Omega（此處的楔積把形式楔積與 g 的李括號結合起來；對矩陣群它字面上就是形式的矩陣乘法，常寫成 (1/2)[omega, omega]）。在帶規範勢 A 的局部平凡化中，它讀作 F = dA + A ^ A，即規範理論的場強；對阿貝爾群，二次項消失而 F = dA。與聯絡不同，曲率「是」張量：在規範變換 h 下它齊次地變換，F -> h^{-1} F h，沒有非齊次的導數項。在向量叢上，同一物件是取值於 End(E) 的 2-形式 R(X,Y) = nabla_X nabla_Y - nabla_Y nabla_X - nabla_{[X,Y]}，即協變導數不可交換的失敗。
曲率是其後一切的源頭。陳-韋伊理論把它餵入不變多項式以產生示性類；比安基恆等式 d Omega + [omega, Omega] = 0 約束它；而在物理中 F 是電磁或楊-米爾斯場強，其平方就是作用量。兩個誠實的警告：其一，曲率是局部的、逐點的量，而和樂是它的全域積分——別把兩者混為一談。其二，符號與係數約定（二次項是否帶 1/2、括號的符號）在小林-野水、Lee 與物理文獻之間各異，所以在相信任何公式之前，務必先言明你用的是哪種約定。
對一個 U(1)（阿貝爾）聯絡，局部寫 A = A_mu dx^mu；則 F = dA 的分量為 F_{mu nu} = partial_mu A_nu - partial_nu A_mu——這正是電磁場張量，電場與磁場是它的條目。馬克士威方程 dF = 0（馬克士威方程的一半）在此就是比安基恆等式，因為 F = dA 且 d^2 = 0 而自動成立。
電磁學是 U(1) 聯絡的曲率；其場強 F = dA 是一個曲率 2-形式。
曲率是張量（齊次變換），而聯絡不是——所以「曲率為零」是個無關座標、規範不變的陳述（聯絡局部平坦），但「聯絡為零」不是。此外曲率是逐點的，和樂是它的迴路積分。並請留意約定：二次項上的 1/2 與括號符號因教科書而異。