空間中的平面（plane in space）
一張平坦無邊的薄片——一張往每個方向永遠延伸的桌面——就是平面。如何用座標精確描述它？俐落的答案繫於一支垂直的箭。若你固定薄片上的一個點，以及從它直直伸出的方向，整張薄片便被決定了：它是所有使「從你固定點到 P 的箭平躺在薄片中」的點 P，也就是說，該箭垂直於那個伸出的方向。
設平面通過位置向量為 a 的點 A，並設 n = (A, B, C) 為法向量——垂直於平面的向量。位置向量為 r 的點在平面上，恰當位移 r - a 垂直於 n，即 n . (r - a) = 0。乘開得純量（點法式）方程式 A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0，整理成一般式 Ax + By + Cz = D，其中 D = n . a。係數 (A, B, C) 正是一個法線方向，這是從任何平面方程式最快能讀出的東西。要造過三個不共線點的平面，作兩個邊向量再取其外積即得 n。
平面是立體幾何的平坦積木，而法向量是開啟角度與距離的鑰匙：兩平面的夾角（二面角）是它們法向量的夾角；點到平面的距離用到法向量；兩平面平行當其法向量平行，垂直當其法向量垂直。一個常見的混淆：同一個平面有許多方程式，因為你可把 (A, B, C, D) 乘上任意非零常數而平面不變。要緊的是法向量的「方向」，而非它的長度——所以檢驗兩方程式是否描述同一平面時，永遠要在容許縮放下比較法向量。
過 A(1, 0, 2) 且法向量為 n = (3, -1, 2) 的平面為 3(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z - 2) = 0，即 3x - y + 2z = 7。檢驗點 (2, 1, 1)：3(2) - 1 + 2(1) = 6 - 1 + 2 = 7，故它在平面上。點 (0, 0, 0) 給出 0 而非 7，故原點不在此平面上。
一個點加一個法線方向就定下平面；係數就是法向量。
在空間中，線性方程式 Ax + By + Cz = D 是一個「平面」，不是直線——這是從二維過來的學生常犯的失誤，在二維中 Ax + By = C 是一條直線。維度改變了一條線性方程式的意義。