空間中的直線（line in space）
在平面中，單一方程式如 y = 2x + 1 就能描述一條直線。但在三維中，一條方程式通常描述的是一整個曲面而非一條線，所以我們需要更豐富的描述。最乾淨的說法是：從一個已知點出發，沿一個固定方向前進。這一句話——一個點加一個方向——正好把空間中的直線釘死。
設直線通過位置向量為 a 的點 A，並沿向量 d（它的方向向量）延伸。線上每個點都可由 A 沿 d 走 t 倍而到達，故向量方程式為 r = a + t d，參數 t 跑遍所有實數。以 a = (x_0, y_0, z_0)、d = (a, b, c) 拆成分量，得參數式 x = x_0 + t a、y = y_0 + t b、z = z_0 + t c。消去 t（當 a、b、c 皆非零時）得對稱式 (x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c，分母正顯示出方向比。兩線平行當其方向向量互為純量倍，垂直當其方向向量內積為零。
這個點加方向的描述驅動了空間直線的一切：求直線與平面的交點、兩線夾角（由方向向量的內積）、以及各種距離。一個要尊重的微妙處：同一條線有無窮多組有效方程式——你可以從線上任一點出發，並用其方向的任意非零純量倍。所以兩個長相不同的方程式可能描述同一條線；要檢驗，看兩方向是否平行、且其中一個的點是否落在另一個上。又若某個方向分量為零，對稱式對該座標就會失效（不能除以零）——那一軸要分開處理，例如直接寫成該座標為常數。
過 A(1, 2, 3) 且方向為 d = (2, 1, -1) 的直線為 r = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)。參數式 x = 1 + 2t、y = 2 + t、z = 3 - t。對稱式：(x - 1)/2 = (y - 2)/1 = (z - 3)/(-1)。當 t = 1 時到達點 (3, 3, 2)，故此點在線上。
直線是一個固定點，加上方向向量的所有倍數。
空間中的直線需要一個點「與」一個方向；x、y、z 的單一線性方程式描述的是平面而非直線。要用方程式表示一條線，通常需要兩條這樣的方程式（兩平面相交的那條線）。