內積（dot product）

兩支箭有多「一致」？若同向，很一致；成直角，毫不一致；反向，則是負的。內積是一個單一數字，正好量度兩向量間的這種重疊——而且令人驚訝地，它把角度與長度綁進一次簡單的乘法裡。由它我們能判斷兩向量是否垂直、求它們間的夾角、並把一個投影到另一個上。

內積有兩張面孔，而它們的一致正是重點所在。代數面：把對應分量相乘再相加。對 u = (u_1, u_2, u_3) 與 v = (v_1, v_2, v_3)，u . v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3——結果是一個純數（純量），不是向量。幾何面：u . v = |u| |v| cos theta，其中 theta 是兩箭間的夾角。令兩面相等，便得到求角的快捷法：cos theta = (u . v) / (|u| |v|)。最常用的特例是垂直（正交）的判別：因為 cos 90 度 = 0，兩個非零向量垂直，恰好就是 u . v = 0 的時候。

內積無所不在：力所做的功是力與位移的內積；判別 u . v = 0 不必畫圖就能偵測直角；cos theta 一步就抽出夾角。它與代數也合拍——可交換（u . v = v . u）、對加法有分配律。注意 u . u = |u|^2，所以內積連長度都還原得出。關於正負號誠實提醒：內積為正表示夾角為銳角（兩箭大致一致），為零表示直角，為負表示鈍角（大致相反）。正負號攜帶真實的幾何資訊——別把它丟掉。