單位向量（unit vector）
有時你只在乎某物朝哪個方向，而不在乎它有多強——是羅盤的方位，不是速度的快慢。單位向量正是如此：一個長度為一的向量，只帶純粹方向、別無其他。把它想成一支標準化的小箭，日後可隨需要放大到任意大小。
任何非零向量 v，只要除以它自身的長度，就能化為同向的單位向量。這稱為正規化（normalising）。把結果寫成 v-hat = v / |v|；於是 |v-hat| = 1 且 v-hat 恰沿著 v。舉例，若 v = (3, 0, 4)，則 |v| = sqrt(9 + 16) = 5，故 v-hat = (3/5, 0, 4/5)。三個標準基底向量 i = (1, 0, 0)、j = (0, 1, 0)、k = (0, 0, 1) 本身就是單位向量，各沿一軸。反過來，每個向量都能重組為「它的長度乘上它的方向」：v = |v| (v-hat)，把「有多少」與「往哪走」俐落地分開。
在直線、平面與物理中，單位向量是指定方向最自然的方式。空間中直線的方向、曲面的外法線、力的作用線——以單位向量給出最為乾淨，這樣大小就能另外提供。唯一不能違反的規則：零向量 (0, 0, 0) 長度為零、不指向任何方向，因此永遠不能被正規化。除以 |0| = 0 是未定義的，這是代數誠實地說「一個沒有方向的點，沒有方向可報告」。
求沿 v = (1, 2, 2) 的單位向量：其長度為 |v| = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3，故 v-hat = (1/3, 2/3, 2/3)。驗算：(1/3)^2 + (2/3)^2 + (2/3)^2 = 1/9 + 4/9 + 4/9 = 9/9 = 1。同方向但長度為 7 的向量即 7 v-hat = (7/3, 14/3, 14/3)。
除以長度得到純方向；可隨意重新縮放。
戴帽（v-hat）是「這是單位向量」的慣用記號。正規化只把長度改成 1，從不改變方向——別期待分量變得「漂亮」；它們常會是分數或根式。