分段定義的強迫項（piecewise-defined forcing）

真實的機器不會被一條始終如一的漂亮公式推動。加熱器先以某功率運轉，再降到另一個功率；電路先得到某電壓，扳動開關後又換成另一個。驅動項在某些時刻改變規則——這就是分段定義的強迫項：在這個區間上是一個式子，在下一個區間上又是另一個。

經典陷阱是：分段函數看起來像好幾個分開的問題拼在一起，天真的做法是逐段求解再把答案縫起來。拉普拉斯方法提供更乾淨的途徑：用亥維賽階躍把整個分段強迫項改寫成單一表達式。若 f 在 t = a 之前是 g1(t)、之後是 g2(t)，就寫成 f(t) = g1(t) + [g2(t) - g1(t)] u(t - a)：階躍只在 t = a 之後加入「修正項」g2 - g1。現在只有一條公式、一次變換（對每個延遲的積木用第二平移定理）、一次 s 域裡的代數求解、一次反變換——而答案自動在每個切換點上連續且正確。

這是應用拉普拉斯變換每天的主力。方波脈衝、階梯輸入、開啟的斜坡、關閉的電源——全都化成階躍的整齊和，變換替你處理手工拼接會搞砸的記帳。這正是拉普拉斯方法勝過舊式猜測－配對方法之處。